Вследствие погрешностей, присущих средству измерений, выбранному методу и методике измерений, отличия внешних условий, в которых выполняется измерение, от установленных, и других причин результат практически каждого измерения отягощен погрешностью. Эта погрешность вычисляется или оценивается и приписывается полученному результату.

Погрешность результата измерений (кратко — погрешность измерений) — отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинное значение величины вследствие наличия погрешностей остается неизвестным. Его применяют при решении теоретических задач метрологии. На практике пользуются действительным значением величины, которое заменяет истинное значение.

Погрешность измерения (Δх) находят по формуле:

x = x изм. - x действ. (1.3)

где х изм. — значение величины, полученное на основании измерений; х действ. — значение величины, принятое за действительное.

За действительное значение при однократных измерениях нередко принимают значение, полученное с помощью образцового средства измерений, при многократных измерениях — среднее арифметическое из значений отдельных измерений, входящих в данный ряд.

Погрешности измерения могут быть классифицированы по следующим признакам:

По характеру проявления — систематические и случайные;

По способу выражения — абсолютные и относительные;

По условиям изменения измеряемой величины — статические и динамические;

По способу обработки ряда измерений — средние арифметические и средние квадратические;

По полноте охвата измерительной задачи — частные и полные;

По отношению к единице физической величины — погрешности воспроизведения единицы, хранения единицы и передачи размера единицы.

Систематическая погрешность измерения (кратко — систематическая погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной для данного ряда измерений или же закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины.

По характеру проявления систематические погрешности подразделяются на постоянные, прогрессивные и периодические. Постоянные систематические погрешности (кратко — постоянные погрешности) — погрешности, длительное время сохраняющие свое значение (например, в течение всей серии измерений). Это наиболее часто встречающийся вид погрешности.

Прогрессивные систематические погрешности (кратко — прогрессивные погрешности) — непрерывно возрастающие или убывающие погрешности (например, погрешности от износа измерительных наконечников, контактирующих в процессе шлифования с деталью при контроле ее прибором активного контроля).

Периодическая систематическая погрешность (кратко — периодическая погрешность) — погрешность, значение которой является функцией времени или функцией перемещения указателя измерительного прибора (например, наличие эксцентриситета в угломерных приборах с круговой шкалой вызывает систематическую погрешность, изменяющуюся по периодическому закону).

Исходя из причин появления систематических погрешностей, различают инструментальные погрешности, погрешности метода, субъективные погрешности и погрешности вследствие отклонения внешних условий измерения от установленных методиками.

Инструментальная погрешность измерения (кратко — инструментальная погрешность) является следствием ряда причин: износ деталей прибора, излишнее трение в механизме прибора, неточное нанесение штрихов на шкалу, несоответствие действительного и номинального значений меры и др.

Погрешность метода измерений (кратко — погрешность метода) может возникнуть из-за несовершенства метода измерений или допущенных его упрощений, установленных методикой измерений. Например, такая погрешность может быть обусловлена недостаточным быстродействием применяемых средств измерений при измерении параметров быстропротекающих процессов или неучтенными примесями при определении плотности вещества по результатам измерения его массы и объема.

Субъективная погрешность измерения (кратко — субъективная погрешность) обусловлена индивидуальными погрешностями оператора. Иногда эту погрешность называют личной разностью. Она вызывается, например, запаздыванием или опережением принятия оператором сигнала.

Погрешность вследствие отклонения (в одну сторону) внешних условий измерения от установленных методикой измерения приводит к возникновению систематической составляющей погрешности измерения.

Систематические погрешности искажают результат измерения, поэтому они подлежат исключению, насколько это возможно, путем введения поправок или юстировкой прибора с доведением систематических погрешностей до допустимого минимума.

Неисключенная систематическая погрешность (кратко — неисключенная погрешность) — это погрешность результата измерений, обусловленная погрешностью вычисления и введения поправки на действие систематической погрешности, или небольшой систематической погрешностью, поправка на действие которой не введена вследствие малости.

Иногда этот вид погрешности называют неисключенными остатками систематической погрешности (кратко — неисключенные остатки). Например, при измерении длины штрихового метра в длинах волн эталонного излучения выявлено несколько неисключенных систематических погрешностей (i): из-за неточного измерения температуры — 1 ; из-за неточного определения показателя преломления воздуха — 2 , из-за неточного значения длины волны — 3 .

Обычно учитывают сумму неисключенных систематических погрешностей (устанавливают их границы). При числе слагаемых N ≤ 3 границы неисключенных систематических погрешностей вычисляют по формуле

При числе слагаемых N ≥ 4 для вычислений используют формулу

(1.5)

где k — коэффициент зависимости неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равномерном распределении. При Р = 0,99, k = 1,4, при Р = 0,95, k = 1,1.

Случайная погрешность измерения (кратко — случайная погрешность) — составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) в серии измерений одного и того же размера физической величины. Причины случайных погрешностей: погрешности округления при отсчете показаний, вариация показаний, изменение условий измерений случайного характера и др.

Случайные погрешности вызывают рассеяние результатов измерений в серии.

В основе теории погрешностей лежат два положения, подтверждаемые практикой:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинакового числового значения, но разного знака, встречаются одинаково часто;

2. Большие (по абсолютному значению) погрешности встречаются реже, чем малые.

Из первого положения следует важный для практики вывод: при увеличении числа измерений случайная погрешность результата, полученного из серии измерений, уменьшается, так как сумма погрешностей отдельных измерений данной серии стремится к нулю, т. е.

(1.6)

Например, в результате измерений получен ряд значений электрического сопротивления (в которые введены поправки на действия систематических погрешностей): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом и R 5 = 15,4 Ом. Отсюда R = 15,5 Ом. Отклонения от R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом и R 5 = -0,1 Ом) представляют собой случайные погрешности отдельных измерений в данной серии. Нетрудно убедиться, что сумма R i = 0,0. Это свидетельствует о том, что погрешности отдельных измерений данного ряда вычислены правильно.

Несмотря на то, что с увеличением числа измерений сумма случайных погрешностей стремится к нулю (в данном примере она случайно получилась равной нулю), обязательно производится оценка случайной погрешности результата измерений. В теории случайных величин характеристикой рассеяния значений случайной величины служит дисперсия о2. "|/о2 = а называют средним квадратическим отклонением генеральной совокупности или стандартным отклонением.

Оно более удобно, чем дисперсия, так как его размерность совпадает с размерностью измеряемой величины (например, значение величины получено в вольтах, среднее квадратическое отклонение тоже будет в вольтах). Так как в практике измерений имеют дело с термином «погрешность», для характеристики ряда измерений следует применять производный от него термин «средняя квадратическая погрешность». Характеристикой ряда измерений может служить средняя арифметическая погрешность или размах результатов измерений.

Размах результатов измерений (кратко — размах) — алгебраическая разность наибольшего и наименьшего результатов отдельных измерений, образующих ряд (или выборку) из n измерений:

R n = X max - Х min (1.7)

где R n — размах; X max и Х min — наибольшее и наименьшее значения величины в данном ряду измерений.

Например, из пяти измерений диаметра d отверстия значения R 5 = 25,56 мм и R 1 = 25,51 мм оказались максимальным и минимальным его значением. В этом случае R n = d 5 — d 1 = 25,56 мм — 25,51 мм = 0,05 мм. Это означает, что остальные погрешности данного ряда менее 0,05 мм.

Средняя арифметическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя арифметическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из n равноточных независимых измерений, вычисляется по формуле

(1.8)

где Х і — результат і-го измерения, входящего в серию; х — среднее арифметическое из n значений величины: |Х і - X| — абсолютное значение погрешности i-го измерения; r — средняя арифметическая погрешность.

Истинное значение средней арифметической погрешности р определяется из соотношения

р = lim r, (1.9)

При числе измерений n > 30 между средней арифметической (r) и средней квадратической (s) погрешностями существуют соотношения

s = 1,25 r; r и= 0,80 s. (1.10)

Преимущество средней арифметической погрешности — простота ее вычисления. Но все же чаще определяют среднюю квадратическую погрешность.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения в серии (кратко — средняя квадратическая погрешность) — обобщенная характеристика рассеяния (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений (одной и той же величины), входящих в серию из п равноточных независимых измерений, вычисляемая по формуле

(1.11)

Средняя квадратическая погрешность для генеральной выборки о, являющаяся статистическим пределом S, может быть вычислена при /і-мх > по формуле:

Σ = lim S (1.12)

В действительности число измерений всегда ограничено, поэтому вычисляется не σ, а ее приближенное значение (или оценка), которым является s. Чем больше п, тем s ближе к своему пределу σ.

При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 или 3 случаях из 10 действительная погрешность может быть больше вычисленной.

Рисунок 1.2 Уменьшение значения случайной погрешности результата многократного измерения при увеличении числа измерений в серии

В серии измерений существует зависимость между средней квадратической погрешностью отдельного измерения s и средней квадратической погрешностью арифметического среднего S x:

которую нередко называют «правилом У n». Из этого правила следует, что погрешность измерений вследствие действия случайных причин может быть уменьшена в уn раз, если выполнять n измерений одного размера какой-либо величины, а за окончательный результат принимать среднее арифметическое значение (рис. 1.2).

Выполнение не менее 5 измерений в серии дает возможность уменьшить влияние случайных погрешностей более чем в 2 раза. При 10 измерениях влияние случайной погрешности уменьшается в 3 раза. Дальнейшее увеличение числа измерений не всегда экономически целесообразно и, как правило, осуществляется лишь при ответственных измерениях, требующих высокой точности.

Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения из ряда однородных двойных измерений S α вычисляется по формуле

(1.14)

где x" i и х"" i — і-ые результаты измерений одного размера величины при прямом и обратном направлениях одним средством измерений.

При неравноточных измерениях среднюю квадратическую погрешность арифметического среднего в серии определяют по формуле

(1.15)

где p i — вес і-го измерения в серии неравноточных измерений.

Среднюю квадратическую погрешность результата косвенных измерений величины Y, являющейся функцией Y = F (X 1 , X 2 , X n), вычисляют по формуле

(1.16)

где S 1 , S 2 , S n — средние квадратические погрешности результатов измерений величин X 1 , X 2 , X n .

Если для большей надежности получения удовлетворительного результата проводят несколько серий измерений, среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения из m серий (S m) находят по формуле

(1.17)

Где n — число измерений в серии; N — общее число измерений во всех сериях; m — число серий.

При ограниченном числе измерений часто необходимо знать погрешность средней квадратической погрешности. Для определения погрешности S, вычисляемой по формуле (2.7), и погрешности S m , вычисляемой по формуле (2.12), можно воспользоваться следующими выражениями

(1.18)

(1.19)

где S и S m — средние квадратические погрешности соответственно S и S m .

Например, при обработке результатов ряда измерений длины х получены

= 86 мм 2 при n = 10,

= 3,1 мм

= 0,7 мм или S = ±0,7 мм

Значение S = ±0,7 мм означает, что из-за погрешности вычисления s находится в пределах от 2,4 до 3,8 мм, следовательно, десятые доли миллиметра здесь ненадежны. В рассмотренном случае надо записать: S = ±3 мм.

Чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений, вычисляют доверительную погрешность или доверительные границы погрешности. При нормальном законе распределения доверительные границы погрешности вычисляют как ±t-s или ±t-s x , где s и s x — средние квадратические погрешности соответственно отдельного измерения в серии и среднего арифметического; t — число, зависящее от доверительной вероятности Р и числа измерений n.

Важным понятием является надежность результата измерений (α), т.е. вероятность того, что искомое значение измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал.

Например, при обработке деталей на станках в устойчивом технологическом режиме распределение погрешностей подчиняется нормальному закону. Предположим, что установлен допуск на длину детали, равный 2а. В этом случае доверительным интервалом, в котором находится искомое значение длины детали а, будет (а - а, а + а).

Если 2a = ±3s, то надежность результата a = 0,68, т. е. в 32 случаях из 100 следует ожидать выхода размера детали за допуск 2а. При оценивании качества детали по допуску 2a = ±3s надежность результата составит 0,997. В этом случае можно ожидать выхода за установленный допуск только трех деталей из 1000. Однако увеличение надежности возможно лишь при уменьшении погрешности длины детали. Так, для повышения надежности с a = 0,68 до a = 0,997 погрешность длины детали необходимо уменьшить в три раза.

В последнее время получил широкое распространение термин «достоверность измерений». В некоторых случаях он необоснованно применяется вместо термина «точность измерений». Например, в некоторых источниках можно встретить выражение «установление единства и достоверности измерений в стране». Тогда как правильнее сказать «установление единства и требуемой точности измерений». Достоверность нами рассматривается как качественная характеристика, отражающая близость к нулю случайных погрешностей. Количественно она может быть определена через недостоверность измерений.

Недостоверность измерений (кратко — недостоверность)— оценка несовпадения результатов в серии измерений вследствие влияния суммарного воздействия случайных погрешностей (определяемых статистическими и нестатистическими методами), характеризуемая областью значений, в которой находится истинное значение измеряемой величины.

В соответствии с рекомендациями Международного бюро мер и весов недостоверность выражается в виде суммарной средней квадратической погрешности измерений — Su включающей среднюю квадратическую погрешность S (определяемую статистическими методами) и среднюю квадратическую погрешность u (определяемую нестатистическими методами), т.е.

(1.20)

Предельная погрешность измерения (кратко — предельная погрешность) — максимальная погрешность измерения (плюс, минус), вероятность которой не превышает значение Р, при этом разность 1 - Р незначительная.

Например, при нормальном законе распределения вероятность появления случайной погрешности, равной ±3s, составляет 0,997, а разность 1-Р = 0,003 незначительна. Поэтому во многих случаях доверительную погрешность ±3s, принимают за предельную, т.е. пр = ±3s. В случае необходимости пр может иметь и другие соотношения с s при достаточно большом Р (2s, 2,5s, 4s и т.д.).

В связи с тем, в стандартах ГСИ вместо термина «средняя квадратическая погрешность» применен термин «среднее квадратическое откланение», в дальнейших рассуждениях мы будим придерживаться именно этого термина.

Абсолютная погрешность измерения (кратко — абсолютная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины. Так, погрешность Х измерения длины детали Х, выраженная в микрометрах, представляет собой абсолютную погрешность.

Не следует путать термины «абсолютная погрешность» и «абсолютное значение погрешности», под которым понимают значение погрешности без учета знака. Так, если абсолютная погрешность измерения равна ±2мкВ, то абсолютное значение погрешности будет 0,2 мкВ.

Относительная погрешность измерения (кратко — относительная погрешность) — погрешность измерения, выраженная в долях значения измеряемой величины или в процентах. Относительную погрешность δ находят из отношений:

(1.21)

Например, имеется действительное значение длины детали х = 10,00 мм и абсолютное значение погрешности х = 0,01мм. Относительная погрешность составит

Статическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями статического измерения.

Динамическая погрешность — погрешность результата измерения, обусловленная условиями динамического измерения.

Погрешность воспроизведения единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при воспроизведении единицы физической величины. Так, погрешность воспроизведения единицы при помощи государственного эталона указывают в виде ее составляющих: неисключенной систематической погрешности, характеризуемой ее границей; случайной погрешностью, характеризуемой средним квадратическим отклонением s и нестабильностью за год ν.

Погрешность передачи размера единицы — погрешность результата измерений, выполняемых при передаче размера единицы. В погрешность передачи размера единицы входят неисключенные систематические погрешности и случайные погрешности метода и средств передачи размера единицы (например, компаратора).

В наш век человек придумал и использует огромное множество всевозможных измерительных приборов. Но какой бы совершенной ни была технология их изготовления, все они имеют большую или меньшую погрешность. Этот параметр, как правило, указывается на самом инструменте, и для оценки точности определяемой величины нужно уметь разбираться в том, что означают указанные на маркировке цифры. Кроме того, относительная и абсолютная погрешность неизбежно возникает при сложных математических расчетах. Она широко применяется в статистике, промышленности (контроль качества) и в ряде других областей. Как рассчитывается эта величина и как трактовать ее значение - об этом как раз и пойдет речь в данной статье.

Абсолютная погрешность

Обозначим через х приближенное значение какой-либо величины, полученное, к примеру, посредством однократного измерения, а через х 0 - ее точное значение. Теперь вычислим модуль разности между этими двумя числами. Абсолютная погрешность - это как раз и есть то значение, что получилось у нас в результате этой нехитрой операции. Выражаясь языком формул, данное определение можно записать в таком виде: Δ x = | x - x 0 |.

Относительная погрешность

Абсолютное отклонение обладает одним важным недостатком - оно не позволяет оценить степень важности ошибки. Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 грамм в свою пользу. То есть абсолютная погрешность составила 50 грамм. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на нее внимания. А представьте себе, что случится, если при приготовлении лекарства произойдет подобная ошибка? Тут уже все будет намного серьезней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения. Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме нее очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение, равное отношению абсолютной погрешности к точному значению числа. Это записывается следующей формулой: δ = Δ x / x 0 .

Свойства погрешностей

Предположим, у нас есть две независимые величины: х и у. Нам требуется рассчитать отклонение приближенного значения их суммы. В этом случае мы может рассчитать абсолютную погрешность как сумму предварительно рассчитанных абсолютных отклонений каждой из них. В некоторых измерениях может произойти так, что ошибки в определении значений x и y будут друг друга компенсировать. А может случиться и такое, что в результате сложения отклонения максимально усилятся. Поэтому, когда рассчитывается суммарная абсолютная погрешность, следует учитывать наихудший из всех вариантов. То же самое справедливо и для разности ошибок нескольких величин. Данное свойство характерно лишь для абсолютной погрешности, и к относительному отклонению его применять нельзя, поскольку это неизбежно приведет к неверному результату. Рассмотрим эту ситуацию на следующем примере.

Предположим, измерения внутри цилиндра показали, что внутренний радиус (R 1) равен 97 мм, а внешний (R 2) - 100 мм. Требуется определить толщину его стенки. Вначале найдем разницу: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Если в задаче не указывается чему равна абсолютная погрешность, то ее принимают за половину деления шкалы измерительного прибора. Таким образом, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Суммарная абсолютная погрешность равна: Δ(h) = Δ(R 2) +Δ(R 1) = 1 мм. Теперь рассчитаем относительно отклонение всех величин:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Как видим, погрешность измерения обоих радиусов не превышает 5,2%, а ошибка при расчете их разности - толщины стенки цилиндра - составила целых 33,(3)%!

Следующее свойство гласит: относительное отклонение произведения нескольких числе примерно равно сумме относительных отклонений отдельных сомножителей:

δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).

Причем данное правило справедливо независимо от количества оцениваемых величин. Третье и последнее свойство относительной погрешности состоит в том, что относительная оценка числа k-й степени приближенно в | k | раз превышает относительную погрешность исходного числа.

При измерении какой-нибудь величины неизменно есть некоторое отклонение от правдивого значения, от того что ни один прибор не может дать точного итога. Для того, дабы определить допустимые отклонения полученных данных от точного значения, применяют представления относительной и безусловной погрешности.

Вам понадобится

• – итоги измерений;
• – калькулятор.

Инструкция

1. В первую очередь, проведите несколько измерений прибором одной и той же величины, дабы иметь вероятность посчитать действительное значение. Чем огромнее будет проведено измерений, тем вернее будет итог. Скажем, взвесьте яблоко на электронных весах. Возможен, вы получили итоги 0,106, 0,111, 0,098 кг.

2. Сейчас посчитайте действительное значение величины (действительное, от того что правдивое обнаружить нереально). Для этого сложите полученные итоги и поделите их на число измерений, то есть обнаружьте среднее арифметическое. В примере действительное значение будет равно (0,106+0,111+0,098)/3=0,105.

3. Для расчета безусловной погрешности первого измерения вычитайте из итога действительное значение: 0,106-0,105=0,001. Таким же образом вычислите безусловные погрешности остальных измерений. Обратите внимание, самостоятельно от того, получится итог с минусом либо с плюсом, знак погрешности неизменно позитивный (то есть вы берете модуль значения).

4. Дабы получить относительную погрешность первого измерения, поделите безусловную погрешность на действительное значение: 0,001/0,105=0,0095. Обратите внимание, обыкновенно относительная погрешность измеряется в процентах, следственно умножьте полученное число на 100%: 0,0095х100%=0,95%. Таким же образом считайте относительные погрешности остальных измерений.

5. Если правдивое значение теснее вестимо, сразу принимайтесь за расчет погрешностей, исключив поиск среднего арифметического итогов измерений. Сразу вычитайте из правдивого значения полученный итог, при этом вы обнаружите безусловную погрешность.

6. После этого разделяете безусловную погрешность на правдивое значение и умножайте на 100% – это будет относительная погрешность. Скажем, число учеников 197, но его округлили до 200. В таком случае рассчитайте погрешность округления: 197-200=3, относительная погрешность: 3/197х100%=1,5%.

Погрешность является величиной, которая определяет допустимые отклонения полученных данных от точного значения. Существуют представления относительной и безусловной погрешности. Их нахождение – одна из задач математического обзора. Впрочем на практике больше значимо бывает посчитать погрешность разброса какого-нибудь измеряемого показателя. Физические приборы имеют собственную возможную погрешность. Но не только ее надобно рассматривать при определении показателя. Для подсчета погрешности разброса σ нужно провести несколько измерений данной величины.

Вам понадобится

• Прибор для измерения требуемой величины

Инструкция

1. Измерьте прибором либо другим средством измерения надобную вам величину. Повторите измерения несколько раз. Тем огромнее будет получено значений, тем выше точность определения погрешности разброса. Традиционно проводят 6-10 измерений. Запишите полученный комплект значений измеряемой величины.

2. Если все полученные значения равны, следственно, погрешность разброса равна нулю. Если же в ряду есть отличающиеся значения, вычислите погрешность разброса. Для ее определения существует особая формула.

3. Согласно формуле, вычислите вначале среднюю величину <х> из полученных значений. Для этого сложите все значения, а их сумму поделите на число проводимых измерений n.

4. Определите поочередно разность между всей полученной величиной и средним значением <х>. Запишите итоги полученных разностей. После этого возведите все разности в квадрат. Обнаружьте сумму данных квадратов. Сбережете конечный полученный итог суммы.

5. Вычислите выражение n(n-1), где n – число проводимых вами измерений. Поделите итог суммы из предыдущего вычисления на полученное значение.

6. Возьмите корень квадратный частного от деления. Это и будет погрешность разброса σ, измеренной вами величины.

Проводя измерения, невозможно гарантировать их точность, всякий прибор дает некую погрешность . Дабы узнать точность измерений либо класс точности прибора, нужно определить безусловную и относительную погрешность .

Вам понадобится

• – несколько итогов измерений либо иная выборка;
• – калькулятор.

Инструкция

1. Проведите измерения не менее 3-5 раз, дабы иметь вероятность посчитать действительное значение параметра. Сложите полученные итоги и поделите их на число измерений, вы получили действительное значение, которое применяется в задачах взамен правдивого (его определить нереально). Скажем, если измерения дали итог 8, 9, 8, 7, 10, то действительное значение будет равно (8+9+8+7+10)/5=8,4.

2. Обнаружьте безусловную погрешность всего измерения. Для этого из итога измерения вычитайте действительное значение, знаками пренебрегайте. Вы получите 5 безусловных погрешностей, по одному для всякого измерения. В примере они будут равны 8-8,4 = 0,4, 9-8,4 =0,6, 8-8,4=0,4, 7-8,4 =1,4, 10-8,4=1,6 (взяты модули итогов).

3. Дабы узнать относительную погрешность всякого измерения, поделите безусловную погрешность на действительное (правдивое) значение. После этого умножьте полученный итог на 100%, традиционно именно в процентах измеряется эта величина. В примере обнаружьте относительную погрешность таким образом: ?1=0,4/8,4=0,048 (либо 4,8%), ?2=0,6/8,4=0,071 (либо 7,1 %), ?3=0,4/8,4=0,048 (либо 4,8%), ?4=1,4/8,4=0,167 (либо 16,7%), ?5=1,6/8,4=0,19 (либо 19%).

4. На практике для особенно точного отображения погрешности применяют среднее квадратическое отклонение. Дабы его обнаружить, возведите в квадрат все безусловные погрешности измерения и сложите между собой. После этого поделите это число на (N-1), где N – число измерений. Вычислив корень из полученного итога, вы получите среднее квадратическое отклонение, характеризующее погрешность измерений.

5. Дабы обнаружить предельную безусловную погрешность , обнаружьте минимальное число, заведомо превышающее безусловную погрешность либо равное ему. В рассмотренном примере примитивно выберите наибольшее значение – 1,6. Также изредка нужно обнаружить предельную относительную погрешность , в таком случае обнаружьте число, превышающее либо равное относительной погрешности, в примере она равна 19%.

Неотделимой частью всякого измерения является некоторая погрешность . Она представляет собой добротную отзыв точности проведенного изыскания. По форме представления она может быть безусловной и относительной.

Вам понадобится

• – калькулятор.

Инструкция

1. Погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и дерзкие. Первые вызываются факторами, которые действуют идентично при многократном повторении измерений. Они непрерывны либо правомерно изменяются. Они могут быть вызваны неправильной установкой прибора либо несовершенством выбранного способа измерения.

2. Вторые появляются от могущества причин, и беспричинный нрав. К ним дозволено отнести неправильное округление при подсчете показаний и могущество окружающей среды. Если такие ошибки гораздо поменьше, чем деления шкалы этого прибора измерения, то в качестве безусловной погрешности уместно взять половину деления.

3. Промах либо дерзкая погрешность представляет собой итог слежения, тот, что круто отличается от всех остальных.

4. Безусловная погрешность приближенного числового значения – это разность между итогом, полученным в ходе измерения и правдивым значением измеряемой величины. Правдивое либо действительное значение особенно верно отражает исследуемую физическую величину. Эта погрешность является самой легкой количественной мерой ошибки. Её дозволено рассчитать по дальнейшей формуле: ?Х = Хисл – Хист. Она может принимать позитивное и негативное значение. Для большего понимания разглядим пример. В школе 1205 учащихся, при округлении до 1200 безусловная погрешность равняется: ? = 1200 – 1205 = 5.

5. Существуют определенные правила расчета погрешности величин. Во-первых, безусловная погрешность суммы 2-х само­стоятельных величин равна сумме их безусловных погрешностей: ?(Х+Y) = ?Х+?Y. Подобный подход применим для разности 2-х погрешностей. Дозволено воспользоваться формулой: ?(Х-Y) = ?Х+?Y.

6. Поправка представляет собой безусловную погрешность , взятую с обратным знаком: ?п = -?. Её применяют для исключения систематической погрешности.

Измерения физических величин неизменно сопровождаются той либо другой погрешностью . Она представляет собой отклонение итогов измерения от правдивого значения измеряемой величины.

Вам понадобится

• -измерительный прибор:
• -калькулятор.

Инструкция

1. Погрешности могут появиться в итоге могущества разных факторов. Среди них дозволено выделить несовершенство средств либо способов измерения, неточности при их изготовлении, неисполнение особых условий при проведении изыскания.

2. Существует несколько систематизаций погрешностей. По форме представления они могут быть безусловными, относительными и приведенными. Первые представляют собой разность между исчисленным и действительным значением величины. Выражаются в единицах измеряемого явления и находятся по формуле:?х = хисл- хист. Вторые определяются отношением безусловных погрешностей к величине правдивого значения показателя.Формула расчета имеет вид:? = ?х/хист. Измеряется в процентах либо долях.

3. Приведенная погрешность измерительного прибора находится как отношение?х к нормирующему значению хн. В зависимости типа прибора оно принимается либо равным пределу измерений, либо отнесено к их определенному диапазону.

4. По условиям происхождения различают основные и добавочные. Если измерения проводились в типичных условиях, то появляется 1-й вид. Отклонения, обусловленные выходом значений за пределы типичных, является дополнительной. Для ее оценки в документации обыкновенно устанавливают нормы, в пределах которых может изменяться величина при нарушении условий проведения измерений.

5. Также погрешности физических измерений подразделяются на систематические, случайные и дерзкие. Первые вызываются факторами, которые действуют при многократном повторении измерений. Вторые появляются от могущества причин, и беспричинный нрав. Промах представляет собой итог слежения, тот, что круто отличается от всех остальных.

6. В зависимости от нрава измеряемой величины могут применяться разные методы измерения погрешности. 1-й из них это способ Корнфельда. Он основан на исчислении доверительного промежутка в пределах от малейшего до максимального итога. Погрешность в этом случае будет представлять собой половину разности этих итогов: ?х = (хmax-xmin)/2. Еще один из методов – это расчет средней квадратической погрешности.

Измерения могут проводиться с различной степенью точности. При этом безусловно точными не бывают даже прецизионные приборы. Безусловная и относительная погрешности могут быть малы, но в действительности они есть фактически неизменно. Разница между приближенным и точным значениями некой величины именуется безусловной погрешностью . При этом отклонение может быть как в крупную, так и в меньшую сторону.

Вам понадобится

• – данные измерений;
• – калькулятор.

Инструкция

1. Перед тем как рассчитывать безусловную погрешность, примите за начальные данные несколько постулатов. Исключите дерзкие погрешности. Примите, что нужные поправки теснее вычислены и внесены в итог. Такой поправкой может быть, скажем, перенос начальной точки измерений.

2. Примите в качестве начального расположения то, что знамениты и учтены случайные погрешности. При этом подразумевается, что они поменьше систематических, то есть безусловной и относительной, характерных именно для этого прибора.

3. Случайные погрешности влияют на итог даже высокоточных измерений. Следственно всякий итог будет больше либо менее приближенным к безусловному, но неизменно будут расхождения. Определите данный промежуток. Его дозволено выразить формулой (Xизм- ?Х)?Хизм? (Хизм+?Х).

4. Определите величину, максимально приближенную к правдивому значению. В реальных измерениях берется среднее арифметическое, которое дозволено обнаружить по формуле, изображенной на рисунке. Примите итог за правдивую величину. Во многих случаях в качестве точного принимается показание эталонного прибора.

5. Зная правдивую величину измерения, вы можете обнаружить безусловную погрешность, которую нужно рассматривать при всех последующих измерениях. Обнаружьте величину Х1 – данные определенного измерения. Определите разность?Х, отняв от большего числа меньшее. При определении погрешности учитывается только модуль этой разности.

Обратите внимание!
Как водится, на практике безусловно точное измерение провести не получается. Следственно за эталонную величину принимается предельная погрешность. Она представляет собой наивысшее значение модуля безусловной погрешности.

Полезный совет
В утилитарных измерениях за величину безусловной погрешности обыкновенно принимается половина наименьшей цены деления. При действиях с числами за безусловную погрешность принимается половина значения цифры, которая находится в дальнейшим за точными цифрами разряде. Для определения класса точности прибора больше главным бывает отношение безусловной погрешности к итогу измерений либо к длине шкалы.

Погрешности измерений связаны с несовершенством приборов, инструментов, методологии. Точность зависит также от наблюдательности и состояния экспериментатора. Погрешности разделяются на безусловные, относительные и приведенные.

Инструкция

1. Пускай однократное измерение величины дало итог x. Правдивое значение обозначено за x0. Тогда безусловная погрешность ?x=|x-x0|. Она оценивает безусловную ошибку измерения. Безусловная погрешность складывается из 3 составляющих: случайных погрешностей, систематических погрешностей и промахов. Обыкновенно при измерении прибором берут в качестве погрешности половину цены деления. Для миллиметровой линейки это будет 0,5 мм.

2. Правдивое значение измеряемой величины находится в интервале (x-?x ; x+?x). Короче это записывается как x0=x±?x. Главно измерять x и?x в одних и тех же единицах измерения и записывать в одном и том же формате числа, скажем, целая часть и три цифры позже запятой. Выходит, безусловная погрешность дает границы промежутка, в котором с некоторой вероятностью находится правдивое значение.

3. Относительная погрешность выражает отношение безусловной погрешности к действительному значению величины: ?(x)=?x/x0. Это безразмерная величина, она может записываться также в процентах.

4. Измерения бывают прямые и косвенные. В прямых измерениях сразу замеряется желанная величина соответствующим прибором. Скажем, длина тела измеряется линейкой, напряжение – вольтметром. При косвенных измерениях величина находится по формуле зависимости между ней и замеряемыми величинами.

5. Если итог представляет собой связанность от 3 непринужденно измеряемых величин, имеющих погрешности?x1, ?x2, ?x3, то погрешность косвенного измерения?F=?[(?x1 ?F/?x1)?+(?x2 ?F/?x2)?+(?x3 ?F/?x3)?]. Тут?F/?x(i) – частные производные от функции по всякой из непринужденно измеряемых величин.

Полезный совет
Промахи – это дерзкие неточности измерений, возникающие при неисправности приборов, невнимательности экспериментатора, нарушении методологии эксперимента. Дабы уменьшить вероятность таких промахов, при проведении измерений будьте внимательны и детально расписывайте полученный итог.

Итог всякого измерения неминуемо сопровождается отклонением от правдивого значения. Вычислить погрешность измерения дозволено несколькими методами в зависимости от ее типа, скажем, статистическими способами определения доверительного промежутка, среднеквадратического отклонения и пр.

Инструкция

1. Существует несколько причин, по которым появляются погрешности измерений . Это приборная неточность, несовершенство методологии, а также ошибки, вызванные невнимательностью оператора, проводящего замеры. Помимо того, зачастую за правдивое значение параметра принимают его действительную величину, которая на самом деле является лишь особенно возможной, исходя из обзора статистической выборки итогов серии экспериментов.

2. Погрешность – это мера отклонения измеряемого параметра от его правдивого значения. Согласно способу Корнфельда, определяют доверительный промежуток, тот, что гарантирует определенную степень безопасности. При этом находят так называемые доверительные пределы, в которых колеблется величина, а погрешность вычисляют как полусумму этих значений:? = (xmax – xmin)/2.

3. Это интервальная оценка погрешности , которую имеет толк проводить при маленьком объеме статистической выборки. Точечная оценка заключается в вычислении математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

4. Математическое ожидание представляет собой интегральную сумму ряда произведений 2-х параметров слежений. Это, собственно, значения измеряемой величины и ее вероятности в этих точках:М = ?xi pi.

5. Классическая формула для вычисления среднеквадратического отклонения полагает расчет среднего значения анализируемой последовательности значений измеряемой величины, а также рассматривает объем серии проведенных экспериментов:? = ?(?(xi – xср)?/(n – 1)).

6. По методу выражения выделяют также безусловную, относительную и приведенную погрешность. Безусловная погрешность выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина, и равна разности между ее расчетным и правдивым значением:?x = x1 – x0.

7. Относительная погрешность измерения связана с безусловной, впрочем является больше высокоэффективной. Она не имеет размерности, изредка выражается в процентах. Ее величина равна отношению безусловной погрешности к правдивому либо расчетному значению измеряемого параметра:?x = ?x/x0 либо?x = ?x/x1.

8. Приведенная погрешность выражается отношением между безусловной погрешностью и некоторым условно принятым значением x, которое является постоянным для всех измерений и определяется по градуировке шкалы прибора. Если шкала начинается с нуля (односторонняя), то это нормирующее значение равно ее верхнему пределу, а если двусторонняя – ширине каждого ее диапазона:? = ?x/xn.

Самоконтроль при диабете считается значимым компонентом лечения. Для измерения сахара крови в домашних условиях применяется глюкометр. Возможная погрешность у этого прибора выше, чем у лабораторных анализаторов гликемии.

Измерение сахара крови нужно для оценки результативности лечения диабета и для коррекции дозы препаратов. От назначенной терапии зависит то, сколько раз в месяц понадобится мерить сахар. Изредка забор крови на обзор необходим неоднократно в течение дня, изредка довольно 1-2 раз в неделю. Самоконтроль исключительно нужен беременным и больным 1 типом диабета.

Допустимая погрешность у глюкометра по мировым стандартам

Глюкометр не считается высокоточным прибором. Он предуготовлен только для ориентировочного определения концентрации сахара в крови. Возможная погрешность у глюкометра по мировым эталонам составляет 20% при гликемии больше 4,2 ммоль/л. Скажем, если при самоконтроле зафиксирован ярус сахара 5 ммоль/л, то настоящее значение концентрации находится в интервале от 4 до 6 ммоль/л. Возможная погрешность у глюкометра в стандартных условиях измеряется в процентах, а не в ммоль/л. Чем выше показатели, тем огромнее погрешность в безусловных числах. Скажем, если сахар крови достигает около 10 ммоль/л, то оплошность не превышает 2 ммоль/л, а если сахар – около 20 ммоль/л, то разница с итогом лабораторного измерения может быть до 4 ммоль/л. В большинстве случаев глюкометр завышает показатели гликемии.Эталоны допускают превышение заявленной погрешности измерения в 5% случаев. Это значит, что всякое двадцатое изыскание может значительно искажать итоги.

Допустимая погрешность у глюкометров различных фирм

Глюкометры подлежат непременной сертификации. В сопровождающих прибор документах обыкновенно указаны цифры возможной погрешности измерений. Если этого пункта нет в инструкции, то погрешность соответствует 20%. Некоторые изготовители глюкометров уделяют специальное внимание точности измерений. Существуют приборы европейских фирм, которые имеют возможную погрешность поменьше 20%. Лучший показатель на сегодняшний день составляет 10-15%.

Погрешность у глюкометра при самоконтроле

Допустимая погрешность измерения характеризует работу прибора. На точность изыскания влияют и некоторые другие факторы. Ненормально подготовленная кожа, слишком малый либо огромный объем полученной капли крови, недопустимый температурный режим – все это может приводить к ошибкам. Только в том случае, если все правила самоконтроля соблюдаются, дозволено рассчитывать на заявленную возможную погрешность изыскания. Правила самоконтроля с поддержкой глюкометра дозволено узнать у лечащего доктора.Точность глюкометра дозволено проверить в сервисном центре. Гарантийные обязательства изготовителей предусматривают бесплатные консультации и устранение неполадок.

Физические величины характеризуются понятием «точность погрешности». Есть высказывание, что путем проведения измерений можно прийти к познанию. Так удастся узнать, какова высота дома или длина улицы, как и многие другие.

Введение

Разберемся в значении понятия «измерить величину». Процесс измерения заключается в том, чтобы сравнить её с однородными величинами, которые принимают в качестве единицы.

Для определения объёма используются литры, для вычисления массы применяются граммы. Чтобы было удобнее производить расчеты, ввели систему СИ международной классификации единиц.

За измерение длины вязли метры, массы - килограммы, объёма - кубические литры, времени - секунды, скорости - метры за секунду.

При вычислении физических величин не всегда нужно пользоваться традиционным способом, достаточно применить вычисление при помощи формулы. К примеру, для вычисления таких показателей, как средняя скорость, необходимо поделить пройденное расстояние на время, проведенное в пути. Так производятся вычисления средней скорости.

Применяя единицы измерения, которые в десять, сто, тысячу раз превышают показатели принятых измерительных единиц, их называют кратными.

Наименование каждой приставки соответствует своему числу множителя:

1. Дека.
2. Гекто.
3. Кило.
4. Мега.
5. Гига.
6. Тера.

В физической науке для записи таких множителей используется степень числа 10. К примеру, миллион обозначается как 10 6 .

В простой линейке длина имеет единицу измерения - сантиметр. Она в 100 раз меньше метра. 15-сантиметровая линейка имеет длину 0,15 м.

Линейка является простейшим видом измерительных приборов для того, чтобы измерять показатели длины. Более сложные приборы представлены термометром - чтобы гигрометром - чтобы определять влажность, амперметром - замерять уровень силы, с которой распространяется электрический ток.

Насколько точны будут показатели проведенных измерений?

Возьмем линейку и простой карандаш. Наша задача заключается в измерении длины этой канцелярской принадлежности.

Для начала потребуется определить, какова цена деления, указанная на шкале измерительного прибора. На двух делениях, которые являются ближайшими штрихами шкалы, написаны цифры, к примеру, «1» и «2».

Необходимо подсчитать, сколько делений заключено в промежутке этих цифр. При правильном подсчете получится «10». Вычтем от того числа, которое является большим, число, которое будет меньшим, и поделим на число, которое составляют деления между цифрами:

(2-1)/10 = 0,1 (см)

Так определяем, что ценой, определяющей деление канцелярской принадлежности, является число 0,1 см или 1 мм. Наглядно показано, как определяется показатель цены для деления с применением любого измерительного прибора.

Измеряя карандаш с длиной, которая немного меньше, чем 10 см, воспользуемся полученными знаниями. При отсутствии на линейке мелкого деления, следовал бы вывод, что предмет имеет длину 10 см. Это приблизительное значение названо измерительной погрешностью. Она указывает на тот уровень неточности, которая может допускаться при проведении измерений.

Определяя параметры длины карандаша с более высоким уровнем точности, большей ценой деления достигается большая измерительная точность, которая обеспечивает меньшую погрешность.

При этом абсолютно точного выполнения измерений не может быть. А показатели не должны превышать размеры цены деления.

Установлено, что размеры измерительной погрешности составляют ½ цены, которая указана на делениях прибора, который применяется для определения размеров.

После выполнения замеров карандаша в 9,7 см определим показатели его погрешности. Это промежуток 9,65 - 9,85 см.

Формулой, измеряющей такую погрешность, является вычисление:

А = а ± D (а)

А - в виде величины для измерительных процессов;

а - значение результата замеров;

D - обозначение абсолютной погрешности.

При вычитании или складывании величин с погрешностью результат будет равен сумме показателей погрешности, которую составляет каждая отдельная величина.

Знакомство с понятием

Если рассматривать в зависимости от способа её выражения, можно выделить такие разновидности:

• Абсолютную.
• Относительную.
• Приведенную.

Абсолютная погрешность измерений обозначается буквой «Дельта» прописной. Это понятие определяется в виде разности между измеренными и действительными значениями той физической величины, которая измеряется.

Выражением абсолютной погрешность измерений являются единицы той величины, которую необходимо измерить.

При измерении массы она будет выражаться, к примеру, в килограммах. Это не эталон точности измерений.

Как рассчитать погрешность прямых измерений?

Есть способы изображения погрешности измерения и их вычисления. Для этого важно уметь определять физическую величину с необходимой точностью, знать, что такое абсолютная погрешность измерений, что её никто никогда не сможет найти. Можно вычислить только её граничное значение.

Даже если условно употребляется этот термин, он указывает именно на граничные данные. Абсолютная и относительная погрешность измерений обозначаются одинаковыми буквами, разница в их написании.

При измерении длины абсолютная погрешность будет измеряться в тех единицах, в которых исчисляться длина. А относительная погрешность вычисляется без размеров, так как она является отношением абсолютной погрешности к результату измерения. Такую величину часто выражают в процентах или в долях.

Абсолютная и относительная погрешность измерений имеют несколько разных способов вычисления в зависимости от того, какой физических величин.

Понятие прямого измерения

Абсолютная и относительная погрешность прямых измерений зависят от класса точности прибора и умения определять погрешность взвешивания.

Прежде чем говорить о том, как вычисляется погрешность, необходимо уточнить определения. Прямым называется измерение, при котором происходит непосредственное считывание результата с приборной шкалы.

Когда мы пользуемся термометром, линейкой, вольтметром или амперметром, то всегда проводим именно прямые измерения, так как применяем непосредственно прибор со шкалой.

Есть два фактора, которые влияют на результативность показаний:

• Погрешностью приборов.
• Погрешностью системы отсчета.

Граница абсолютной погрешности при прямых измерениях будет равна сумме погрешности, которую показывает прибор, и погрешности, которая происходит в процессе отсчета.

D = D (пр.) + D (отс.)

Пример с медицинским термометром

Показатели погрешности указаны на самом приборе. На медицинском термометре прописана погрешность 0,1 градусов Цельсия. Погрешность отсчета составляет половину цены деления.

D отс. = С/2

Если цена деления 0,1 градуса, то для медицинского термометра можно произвести вычисления:

D = 0,1 o С + 0,1 o С / 2 = 0,15 o С

На тыльной стороне шкалы другого термометра есть ТУ и указано, что для правильности измерений необходимо погружать термометр всей тыльной частью. не указана. Остается только погрешность отсчета.

Если цена деления шкалы этого термометра равна 2 o С, то можно измерять температуру с точностью до 1 o С. Таковы пределы допускаемой абсолютной погрешности измерений и вычисление абсолютной погрешности измерений.

Особую систему вычисления точности используют в электроизмерительных приборах.

Точность электроизмерительных приборов

Чтобы задать точность таких устройств, используется величина, называемая классом точности. Для её обозначения применяют букву «Гамма». Чтобы точно произвести определение абсолютной и относительной погрешности измерений, нужно знать класс точности прибора, который указан на шкале.

Возьмем, к примеру, амперметр. На его шкале указан класс точности, который показывает число 0,5. Он пригоден для измерений на постоянном и переменном токе, относится к устройствам электромагнитной системы.

Это достаточно точный прибор. Если сравнить его со школьным вольтметром, видно, что у него класс точности - 4. Эту величину обязательно знать для дальнейших вычислений.

Применение знаний

Таким образом, D c = c (max) Х γ /100

Этой формулой и будем пользоваться для конкретных примеров. Воспользуемся вольтметром и найдем погрешность измерения напряжения, которое дает батарейка.

Подключим батарейку непосредственно к вольтметру, предварительно проверив, стоит ли стрелка на нуле. При подключении прибора стрелка отклонилась на 4,2 деления. Это состояние можно охарактеризовать так:

1. Видно, что максимальное значение U для данного предмета равно 6.
2. Класс точности -(γ) = 4.
3. U(о) = 4,2 В.
4. С=0,2 В

Пользуясь этими данными формулы, абсолютная и относительная погрешность измерений вычисляется так:

D U = DU (пр.)+ С/2

D U (пр.) = U (max) Х γ /100

D U (пр.) = 6 В Х 4/100 = 0, 24 В

Это погрешность прибора.

Расчет абсолютной погрешности измерений в этом случае будет выполнен так:

D U = 0,24 В + 0,1 В = 0,34 В

По рассмотренной формуле без труда можно узнать, как рассчитать абсолютную погрешность измерений.

Существует правило округления погрешностей. Оно позволяет найти средний показатель между границей абсолютной погрешности и относительной.

Учимся определять погрешность взвешивания

Это один из примеров прямых измерений. На особом месте стоит взвешивание. Ведь у рычажных весов нет шкалы. Научимся определять погрешность такого процесса. На точность измерения массы влияет точность гирь и совершенство самих весов.

Мы пользуемся рычажными весами с набором гирь, которые необходимо класть именно на правую чашу весов. Для взвешивания возьмем линейку.

Перед началом опыта нужно уравновесить весы. Линейку кладем на левую чашу.

Масса будет равна сумме установленных гирь. Определим погрешность измерения этой величины.

D m = D m (весов) + D m (гирь)

Погрешность измерения массы складывается из двух слагаемых, связанных с весами и гирями. Чтобы узнать каждую из этих величин, на заводах по выпуску весов и гирь продукция снабжается специальными документами, которые позволяют вычислить точность.

Применение таблиц

Воспользуемся стандартной таблицей. Погрешность весов зависит от того, какую массу положили на весы. Чем она больше, тем, соответственно, больше и погрешность.

Даже если положить очень легкое тело, погрешность будет. Этот связано с процессом трения, происходящим в осях.

Вторая таблица относится к набору гирь. На ней указано, что каждая из них имеет свою погрешность массы. 10-граммовая имеет погрешность в 1 мг, как и 20-граммовая. Просчитаем сумму погрешностей каждой из этих гирек, взятой из таблицы.

Удобно писать массу и погрешность массы в двух строчках, которые расположены одна под другой. Чем меньше гири, тем точнее измерение.

Итоги

В ходе рассмотренного материала установлено, что определить абсолютную погрешность невозможно. Можно лишь установить её граничные показатели. Для этого используются формулы, описанные выше в вычислениях. Данный материал предложен для изучения в школе для учеников 8-9 классов. На основе полученных знаний можно решать задачи на определение абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютная и относительная погрешность

Элементы теории погрешностей

Точные и приближенные числа

Точность числа, как правило, не вызывает сомнений, когда речь идет о целых значениях данных(2 карандаша, 100 деревьев). Однако, в большинстве случаев, когда точное значение числа указать невозможно (например, при измерении предмета линейкой, снятии результатов с прибора и т.п.), мы имеем дело с приближенными данными.

Приближенным значениемназывается число, незначительно отличающееся от точного значения и заменяющее его в вычислениях. Степень отличия приближенного значения числа от его точного значения характеризуется погрешностью .

Различают следующие основные источники погрешностей:

1. Погрешности постановки задачи , возникающие в результате приближенного описания реального явления в терминах математики.

2. Погрешности метода , связанные с трудностью или невозможностью решения поставленной задачи и заменой ее подобной, такой, чтобы можно было применить известный и доступный метод решения и получить результат, близкий к искомому.

3. Неустранимые погрешности , связанные с приближенными значениями исходных данных и обусловленные выполнением вычислений над приближенными числами.

4. Погрешности округления , связанные с округлением значений исходных данных, промежуточных и конечных результатов, получаемых с применением вычислительных средств.

Абсолютная и относительная погрешность

Учет погрешностей является важным аспектом применения численных методов, поскольку погрешность конечного результата решения всей задачи является продуктом взаимодействия всех видов погрешностей. Поэтому одной из основных задач теории погрешностей является оценка точности результата на основании точности исходных данных.

Если – точное число и – его приближенное значение, то погрешностью (ошибкой) приближенного значения является степень близости его значения к его точному значению .

Простейшей количественной мерой погрешности является абсолютная погрешность, которая определяется как

(1.1.2-1)

Как видно из формулы 1.1.2-1, абсолютная погрешность имеет те же единицы измерения, что и величина . Поэтому по величине абсолютной погрешности далеко не всегда можно сделать правильное заключение о качестве приближения. Например, если , а речь идет о детали станка, то измерения являются очень грубыми, а если о размере судна, то – очень точными. В связи с этим введено понятие относительной погрешности, в котором значение абсолютной погрешности отнесено к модулю приближенного значения ().

(1.1.2-2)

Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерений данных. Относительная погрешность измеряется в долях или процентах. Так, например, если

,а , то , а если и ,

то тогда .

Чтобы численно оценить погрешность функции, требуется знать основные правила подсчета погрешности действий:

· при сложении и вычитании чисел абсолютные погрешности чисел складываются

· при умножении и делении чисел друг на друга складываются их относительные погрешности

· при возведении в степень приближенного числа его относительная погрешность умножается на показатель степени

Пример 1.1.2-1. Дана функция: . Найти абсолютную и относительную погрешности величины (погрешность результата выполнения арифметических операций), если значения известны, а 1 – точное число и его погрешность равна нулю.

Определив, таким образом, значение относительной погрешности, можно найти значение абсолютной погрешности, как , где величина вычисляется по формуле при приближенных значениях

Поскольку точное значение величины обычно неизвестно, то вычисление и по приведенным выше формулам невозможно. Поэтому на практике проводят оценку предельных погрешностей вида:

(1.1.2-3)

где и – известные величины, которые являются верхними границами абсолютной и относительной погрешностей, иначе их называют – предельная абсолютная и предельная относительная погрешности. Таким образом, точное значение лежит в пределах:

Если величина известна, то , а если известна величина , то