Зависимость между поперечной и продольной деформацией. Продольные и поперечные деформации

Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения, жестко закрепленный сверху. Пусть стержень имеет длину и нагружен растягивающей силой F . От действия этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину Δ (рис.9.7,а).

При сжатии стержня такой же силой F длина стержня сократится на такую же величину Δ (рис.9.7,б).

Величина Δ , равная разности между длинами стержня после деформации и до деформации, называется абсолютной линейной деформацией (удлинением или укорочением) стержня при его растяжении или сжатии.

Отношение абсолютной линейной деформации Δ к первоначальной длине стержня называется относительной линейной деформацией и обозначается буквой ε илиε x ( где индекс x указывает направление деформации). При растяжении или сжатии стержня величину ε просто называют относительной продольной деформацией стержня. Она определяется по формуле:

Многократные исследования процесса деформирования растянутого или сжатого стержня в упругой стадии, подтвердили существование прямой пропорциональной зависимости между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией. Эта зависимость называется законом Гука и имеет вид:

Величина E называется модулем продольной упругости или модулем первого рода. Она является физической постоянной (константой) для каждого вида материала стержня и характеризует его жесткость. Чем больше величина E , тем меньше будет продольная деформация стержня. Величина E измеряется в тех же единицах, что и напряжение, то есть в Па , МПа , и тому подобное. Величины модуля упругости содержатся в таблицах справочной и учебной литературы. Например, величина модуля продольной упругости стали принимается равной E = 2∙10 5 МПа , а древесины

E = 0,8∙10 5 МПа.

При расчете стержней на растяжение или сжатие, часто возникает необходимость определения величины абсолютной продольной деформации , если известна величина продольной силы, площадь поперечного сечения и материал стержня. Из формулы (9.8) найдем: . Заменим в этом выражении ε его значением из формулы (9.9). В результате получим = . Если использовать формулу нормального напряжения , тополучим окончательную формулу для определения абсолютной продольной деформации:

Произведение модуля продольной упругости на площадь поперечного сечения стержня называется его жесткостью при растяжении или сжатии.

Анализируя формулу (9.10) сделаем существенный вывод: абсолютная продольная деформация стержня при растяжении (сжатия) прямо пропорциональная произведению продольной силы на длину стержня и обратно пропорциональная его жесткости .

Заметим, что формула (9.10) может быть использована в том случае, когда поперечное сечение стержня и продольная сила имеют постоянные значения по всей его длине. В общем случае, когда стержень имеет ступенчато переменную жесткость и загружен по длине несколькими силами, нужно разделить его на участки и определить абсолютные деформации каждого из них по формуле (9.10).

Алгебраическая сумма абсолютных деформаций каждого участка будет равняться абсолютной деформации всего стержня, то есть:

Продольные деформации стержня от действия равномерно распределенной нагрузки вдоль его оси (например, от действия собственного веса), определяется следующей формулой, которую приводим без доказательства:

В случае растяжения или сжатия стержня, кроме продольных деформаций возникают также поперечные деформации, как абсолютные, так и относительные. Обозначим через b размер поперечного сечения стержня до деформации. При растяжении стержня силой F этот размер уменьшится на величину Δb , которая является абсолютной поперечной деформацией стержня. Эта величина имеет отрицательный знак.При сжатии, напротив, абсолютная поперечная деформация будет иметь положительный знак (рис. 9.8).

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают

Следовательно,

Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б).

Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса;

F - площадь поперечного сечения бруса;

Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).

Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.

Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак:

Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е.

Коэффициент Пуассона, наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.

Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.

Таблица 2.1 Значения модуля упругости.

Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона)

9. Абсолютная и относительная деформация при растяжении (сжатии). Коэффициент Пуассона.

Если под действием силы брус длиной изменил свою продольную величину на , то эта величина называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение). При этом наблюдается и поперечная абсолютная деформация .

Отношение называется относительной продольной деформацией, а отношение - относительной поперечной деформацией.

Отношение называется коэффициентом Пуассона, который характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона имеет значение . (для стали он равен )

10. Сформулировать закон Гука при растяжении (сжатии).

I форма. В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении (сжатии) нормальные напряжения равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения:

II форма. Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению , откуда .

11. Как определяются напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса?

– сила, равная произведению напряжения на площадь наклонного сечения :

12. По какой формуле можно определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса?

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса (стержня) выражается формулой:

, т.е.

Учитывая, что величина представляет собой жесткость поперечного сечения бруса длиной можно сделать вывод: абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна жесткости поперечного сечения. Этот закон впервые сформулировал Гук в 1660 году.

13. Как определяются температурные деформации и напряжения?

При повышении температуры у большинства материалов механические характеристики прочности уменьшаются, а при понижении температуры – увеличиваются. Например, у стали марки Ст3 при и ;

при и , т.е. .

Удлинение стержня при нагревании определяется по формуле , где - коэффициент линейного расширения материала стержня, - длина стержня.

Возникающее в поперечном сечении нормальное напряжение . При понижении температуры происходит укорочение стержня и возникают напряжения сжатия.

14. Дать характеристику диаграммы растяжения (сжатия).

Механические характеристики материалов определяются путем испытаний образцов и построением соответствующих графиков, диаграмм. Наиболее распространенным является статическое испытание на растяжение (сжатие).

Предел пропорциональности (до этого предела справедлив закон Гука);

Предел текучести материала;

Предел прочности материала;

Разрушающее (условное) напряжение;

Точка 5 соответствует истинному разрушающему напряжению.

1-2 площадка текучести материала;

2-3 зона упрочнения материала;

и - величина пластической и упругой деформации.

Модуль упругости при растяжении (сжатии), определяемый как: , т.е. .

15. Какие параметры характеризуют степень пластичности материала?

Степень пластичности материала может быть охарактеризовано величинами:

Остаточным относительным удлинением – как отношение остаточной деформации образца к первоначальной его длине:

где - длина образца после разрыва. Величина для различных марок стали находится в пределах от 8 до 28 %;

Остаточным относительным сужением – как отношение площади поперечного сечения образца в месте разрыва к первоначальной площади:

где - площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки. Величина находится в пределах от нескольких процентов для хрупкой высокоуглеродистой стали до 60 % для малоуглеродистой стали.

16. Задачи, решаемые при расчете на прочность при растяжении (сжатии).

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением (– эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.
Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:
.
Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах. Например, для пробки, для каучука, для стали, для золота.

Закон Гука
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь - сила, которой растягивают (сжимают) стержень, - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а - коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины) явно, записав коэффициент упругости как

Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.
Если ввести относительное удлинение

И нормальное напряжение в поперечном сечении

То закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль упругости) - физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации.
Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

Где:
E - модуль упругости,
F - сила,
S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
l - длина деформируемого стержня,
x - модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).
Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

Где - плотность вещества.
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона (обозначается как или) - абсолютная величина отношения поперечной к продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
Уравнение
,
где
- коэффициент Пуассона;
- деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);
- продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

Лекция №5

Тема: « Растяжение и сжатие »

Вопросы:

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

2. Определение продольной и поперечной деформации. Закон Гука

4. Температурные напряжения

5. Монтажные напряжения

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными (см. рис. 1).

Рис. 1

Все горизонтальные линии, например, cd переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т.е. "поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации". Эта важная гипотеза носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения, а касательные напряжения равны нулю. Если бы возникали касательные напряжения, то наблюдалась бы угловая деформация, и углы между продольными и поперечными линиями перестали бы быть прямыми. Если бы нормальные напряжения были не одинаковыми во всех точках сечения, го там, где напряжения выше, была бы и больше деформация, а следовательно, поперечные сечения не были бы плоскими и параллельными. Приняв гипотезу плоских сечений мы устанавливаем, что
.

Поскольку продольная сила является равнодействующей внутренних сил
, возникающих на бесконечно малых площадках (см. рис 3.2) ее можно представить в виде:

Рис. 2

Постоянные величины можно выносить за знак интеграла:

где А  площадь поперечного сечения.

Получаем формулу для нахождения нормальных напряженней при растяжении или сжатии:

(1)

Это одна из важнейших формул в сопротивлении материалов поэтому ее выделим в рамочки и также будем поступать в дальнейшем.

При растяжении положительно, при сжатии  отрицательно.

Если на брус действует только одна внешняя сила F , то

N = F ,

и напряжения можно определять по формуле:

2. Определение продольной и поперечной деформации

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации связаны прямой зависимостью, называемой законом Гука:

(2)

где Е  модуль продольной упругости или модуль Юнга, измеряется в МПа, характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям, его значения приведены в таблицax справочника;

 относительная продольная деформация, величина безразмерная, так как:

; (3)

 абсолютное удлинение стержня, м;

l  первоначальная длина, м.

Чем выше значение модуля продольной упругости Е, тем меньше деформация. Например, для стали Е=2,110 5 МПа, а для чугуна Е=(0,75…1,6)10 5 МПа, поэтому элемент конструкции из чугуна при одинаковых прочих условиях получит большую деформацию, чем со стали. Здесь не надо путать с тем, что доведенный до разрыва стержень из стали будет иметь значительно большую деформацию, чем чугунный. Речь идет не об предельной деформации, а об деформации в упругой стадии, т.е. без возникновения пластических деформаций, и при одинаковой нагрузке.

Преобразуем закон Гука, заменив из уравнения (3.3):

Подставим значение из формулы (1):

(4)

Мы получили формулу для абсолютного удлинения (укорочения) стержня. При растяжении
положительная, при сжатии  отрицательная. Произведение ЕА называют жесткостью бруса.

При растяжении стержень становится тоньше, при сжатии  толще. Изменение размеров поперечного сечения называется поперечной деформацией. Например, у прямоугольного сечения до нагружения были ширина b и высота сечения h , а после нагружения  b 1 и h 1 . Относительная поперечная деформация для ширины сечения:

для высоты сечения:

У изотропных материалов свойства одинаковы во всех направлениях. Поэтому:

При растяжении поперечная деформация отрицательна, при сжатии  положительна.

Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

(5)

Экспериментально установлено, что в упругой стадии работы любого материала значение и постоянно. Оно лежит в пределах 00,5 и для конструкционных материалов дается в таблицах справочника.

Из зависимости (5) можно получить следующую формулу:

(6)

При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении. Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия нужно четко разграничивать. Для стержня (см. рис. 3) определим величину деформации и построим эпюру перемещений.

Рис. 3

Как видно из рисунка отрезок стержня АВ не растягивается, но перемещение получит, так как удлинится отрезок СВ. Его удлинение равно:

Перемещения поперечных сечений обозначим через . В сечении С перемещение равно нулю. От сечения С до сечения В перемещение равно удлинению, т.е. возрастает пропорционально до
в сечении В. Для сечений от В до А перемещения одинаковы и равны
, так как этот отрезок стержня не деформируется.

3. Статически неопределимые задачи

Статически неопределимыми принято считать системы, усилия в которых нельзя определить с помощью только уравнений статики. Все статически неопределимые системы имеют "лишние" связи в виде дополнительных закреплений, стержней и других элементов. "Лишними" такие связи называют потому, что они не являются необходимыми с точки зрения обеспечения равновесия системы или ее геометрической неизменяемости, и их устройство преследует конструктивные или эксплуатационные цели.

Разность между количеством неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, характеризует число лишних неизвестных или степень статической неопределимости.

Статически неопределимые системы решают путем составления уравнений перемещения определенных точек, количество которых должно быть равно степени неопределимости системы.

Пусть на стержень, жестко заделанный обоими концами, действует сила F (см. рис. 4). Определим реакции опор.

Рис. 4

Реакции опор направим влево, так как сила F действует вправо. Поскольку вес силы действуют по одной линии можно составить лишь одно уравнение статического равновесия:

-B+F-C=0;

Итак, две неизвестные реакции опор В и С и одно уравнение статического равновесия. Система один раз статически неопределимая. Следовательно, для ее решения нужно составить одно дополнительное уравнение, основанное на перемещениях точки С. Мысленно отбросим правую опору. От силы F левая часть стержня ВД будет растягиваться и сечение С сместится вправо на величину этой деформации:

От реакции опоры С стержень будет сжиматься и сечение переместится влево на величину деформации всего стержня:

Опора не позволяет сечению С перемещаться ни влево, ни вправо, поэтому сумма перемещений от сил F и С должна равняться нулю:

|

Подставив значение С в уравнение статического равновесия, определим вторую реакцию опоры:

4. Температурные напряжения

В статически неопределимых системах при изменении температуры могут возникать напряжения. Пусть стержень, жестко заделанный с двух концов нагревается на температуру
град. (см. рис. 5).

Рис. 5

При нагревании тела расширяются, и стержень будет стремиться удлиниться на величину:

где  коэффициент линейного расширения,

l  первоначальная длина.

Опоры не дают возможности стержню удлиниться, поэтому стержень сжимается на величину:

Согласно формуле (4):

=
;

поскольку:

(7)

Как видно из формулы (7) температурные напряжения не зависят от длины стержня, а зависят лишь от коэффициента линейного расширения, модуля продольной упругости и изменения температуры.

Температурные напряжения могут достигать больших значений. Для их уменьшения в конструкциях предусматриваются специальные температурные зазоры (например, зазоры в стыках рельсов) или компенсационные устройства (например, колена в трубопроводах).

5. Монтажные напряжения

Элементы конструкции могут иметь отклонения в размерах при изготовлении (например, из-за сварки). При сборке размеры не совпадают (например, отверстия под болты), и прикладываются усилия, чтобы собрать узлы. В результате в элементах конструкции возникают внутренние усилия без приложения внешней нагрузки.

Пусть между двух жестких заделок вставлен стержень, длина которого на величину а больше расстояния между опорами (см. рис. 6). Стержень будет испытывать сжатие. Определим напряжения, используя формулу (4):

(8)

Рис. 6

Как видно из формулы (8) монтажные напряжения прямо пропорциональны погрешности в размерах а . Поэтому желательно иметь а=0 , особенно для стержней небольшой длины, так как обратно пропорционально длине.

Однако в статически неопределимых системах к монтажным напряжениям специально прибегают, чтобы повысить несущую способность конструкции.